1. Исследование функций на монотонность

Теория:

Теорема \(1\). Если во всех точках открытого промежутка \(X\) выполняется неравенство f′(x)≥0 (причём равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) возрастает на промежутке \(X\).

2 (1).png

Теорема \(2\). Если во всех точках открытого промежутка \(X\) выполняется неравенство f′(x)≤0 (причём равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке \(X\).

3 (1).png

Итак:
если существует производная функции в интервале \((a,b)\) и в данном интервале
1) f′(x)≥0, то функция в нём не убывает;
2) f′(x)≤0, то функция в нём не возрастает;
3) f′(x)>0, то функция в нём возрастает;
4) f′(x)<0, то функция в нём убывает.
Пример:
необходимо исследовать интервалы монотонности функции f(x)=x3−4x2−16x+17.
 
Сначала находим производную: f′(x)=(x3−4x2−16x+17)′=3x2−8x−16.
Это парабола, которая пересекает ось \(x\)  в точках x1=−43 и x2=4, и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале −43;4 (функция убывает) и положительна в интервалах −∞;−43 и (4;+∞) (функция возрастает).
 
Ответ: 
функция f(x)=x3−4x2−16x+17 возрастает в интервалах −∞;−43 и (4;+∞), убывает в интервале −43;4.
Вернуться в тему
Следующая теория
Copyright © 2026 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных Деятельность в области информационных технологий