Теория:

Все слова в языке выполняют какую-либо функцию, в зависимости от этого выделяют самостоятельные и служебные части речи.

К самостоятельным частям речи относятся слова, которые называют предмет, признак, количество, действие либо указывают на лицо, предмет, признак или количество.

Служебные части речи не имеют лексического значения (ничего не называют), они только служат для связи слов или частей предложения, для образования грамматических форм или для выражения дополнительных смысловых оттенков.

Служебные части речи, в отличие от большинства самостоятельных, не изменяются, поэтому не имеют непостоянных морфологических признаков.
Предлог — служебная часть речи, которая выражает грамматические отношения между словами в словосочетании.
Пример:
положить на стол — предлог на соединяет глагол и имя существительное;

платье в горошек — предлог в соединяет два существительных.
Предлоги употребляются с существительными или местоимениями, стоящими в определённой падежной форме:

посмотреть на себя — предлог на употреблён с местоимением в форме винительного падежа (Посмотреть на кого?);
 
подойти к столу — предлог к употреблён с существительным в форме дательного падежа (Подойти к чему?).

Предлоги не выполняют самостоятельной синтаксической роли в предложении, они входят в состав члена предложения вместе со словом, с которым употребляются.

За окном дует ветер. Ветер дует где? За окном. Обстоятельство.

Мы купили чемодан на колёсиках. Чемодан какой? На колёсиках. Определение.

Я перепрыгнул через ручеёк. Перепрыгнул через что? Через ручеёк. Дополнение.
Союз — служебная часть речи, которая используется для связи однородных членов предложения или частей сложного предложения.
Пример:
хлеб и молоко. Союз и соединяет слова «хлеб», «молоко».

Мы вышли на улицу, и начался дождь. Союз и соединяет части сложного предложения «мы вышли на улицу», «начался дождь».
Союзы выражают смысловые отношения между словами или частями предложения.

Вода в реке тёплая, а не холодная. Союз а связывает однородные члены («тёплая», «холодная») и выражает значение противопоставления.

Мы закрыли окно, чтобы не было сквозняка. Союз чтобы связывает части сложного предложения и выражает значение цели. Мы закрыли окно с какой целью? Чтобы не было сквозняка.

Союзы не являются членами предложения.

Голуби остались на ветке, а воробьи улетели.
Частица — служебная часть речи, которая используется для образования грамматических форм или для выражения дополнительных смысловых оттенков.
Пример:
пусть включит, да здравствует — частицы пусть и да служат для образования форм глаголов повелительного наклонения;

хотел бы, прочитал бы — частица бы служит для образования форм глаголов условного наклонения;

вот ведь как бывает — частица вот усиливает значимость наречия как, частица ведь усиливает значимость всего высказывания.
Некоторые частицы не являются членами предложения, некоторые — входят в состав члена предложения вместе со словом, с которым они употребляются.

Пусть сбудутся все мои желания.
Частица пусть входит в состав сказуемого пусть сбудутся, так как образует форму повелительного наклонения.

Как же нам теперь быть?
Частица же не является членом предложения.