Свойства операций над множествами — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными свойствам операций над числами.

Свойства операций на множествами

$X$, $Y$, $Z$ — множества. $U$ — универсальное множество.

1. Переместительное

Переместительное свойство относительно пересечения	Переместительное свойство относительно пересечения объединения
$X \cap Y = Y \cap X$	$X \cup Y = Y \cup X$

Пример:

переместительное свойство относительно пересечения:

\{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{2, 4\} .

Переместительное свойство относительно пересечения объединения:

\{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\} \cup \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3, 4, 6\} .

2. Сочетательное

Сочетательное свойство относительно пересечения	Сочетательное свойство относительно объединения
$(X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)$	$(X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)$
$X \cap X = X$	$X \cup X = X$
$X \cap \emptyset = \emptyset$	$X \cup \emptyset = X$
$X \cap U = X$	$X \cup U = U$

Пример:

сочетательное свойство относительно пересечения:

\begin{array}{l} \{1, 3\} \cap \{1, 3\} = \{1, 3\}; \\ \{1, 3\} \cap \emptyset = \emptyset; \\ \{1, 3\} \cap \{1, 2, 3 ...\} = \{1, 3\} . \end{array}

Сочетательное свойство относительно объединения:

\begin{array}{l} \{1, 3\} \cup \{1, 3\} = \{1, 3\}; \\ \{1, 3\} \cup \emptyset = \{1, 3\}; \\ \{1, 3\} \cup \{1, 2, 3 ...\} = \{1, 2, 3 ...\} . \end{array}

3. Распределительное

Распределительное свойство относительно пересечения	Распределительное свойство относительно объединения
$(X \cup Y) \cap Z = (X \cap Z) \cup (Y \cap Z)$	$(X \cap Y) \cup Z = (X \cup Z) \cap (Y \cup Z)$

Пример:

распределительное свойство относительно пересечения:

(\{1, 5\} \cup \{2, 6\}) \cap \{5, 6\} = (\{1, 5\} \cap \{5, 6\}) \cup (\{2, 6\} \cap \{5, 6\}) = \{5\} \cup \{6\} = \{5, 6\} .

Распределительное свойство относительно объединения:

(\{1, 5\} \cap \{2, 6\}) \cup \{5, 6\} = (\{1, 5\} \cup \{5, 6\}) \cap (\{2, 6\} \cup \{5, 6\}) = \{1, 5, 6\} \cap \{2, 5, 6\} = \{5, 6\} .

4. Включения

Включения относительно пересечения	Включения относительно объединения
$X \cap (Y \cup Z) \subset (X \cap Y) \cup (X \cap Z)$	$(X \cap Y) (X \cap Z) \subset X \cap (Y \cup Z)$

Пример:

включения относительно пересечения:

\{1, 2\} \cap (\{2, 3\} \cup \{3, 4\}) \subset (\{1, 2\} \cap \{2, 3\}) \cup (\{1, 2\} \cap \{3, 4\}) .

Включения относительно объединения:

(\{1, 2\} \cap \{2, 3\}) (\{1, 2\} \cap \{3, 4\}) \subset \{1, 2\} \cap (\{2, 3\} \cup \{3, 4\}) .

5. Свойства разности

\begin{array}{l} X \ (Y \cup Z) = (X \ Y) \cap (X \ Z); \\ X \ (Y \cap Z) = (X \ Y) \cup (X \ Z); \\ (X \ Y) \cap Z = (X \cap Z) \ (Y \cap Z); \\ (X \ Y) \ Z = (X \ Z) \ Y . \end{array}

\begin{array}{l} \{1, 2\} \ (\{2, 3\} \cup \{3, 4\}) = (\{1, 2\} \ \{2, 3\}) \cap (\{1, 2\} \ \{3, 4\}) = \{1\}; \\ \{1, 2\} \ (\{2, 3\} \cap \{3, 4\}) = (\{1, 2\} \ \{2, 3\}) \cup (\{1, 2\} \ \{3, 4\}) = \{1, 2\}; \\ (\{1, 2\} \ \{2, 3\}) \cap \{3, 4\} = (\{1, 2\} \cap \{3, 4\}) \ (\{2, 3\} \cap \{3, 4\}) = \emptyset; \\ (\{1, 2\} \ \{2, 3\}) \ \{3, 4\} = (\{1, 2\} \ \{3, 4\}) \ \{2, 3\} = \{1\} . \end{array}

Выполняя операции над множествами в выражениях без скобок, необходимо учитывать порядок.

Обрати внимание!

Приоритет:

1) дополнение;

2) пересечение;

3) вычитание;

4) объединение.

1. Свойства операций над множествами