Сложение вероятностей — урок. Математика (СПО), Программа 340 ч..

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

P (A + B) = P (A) + P (B)

События являются несовместными, или несовместимыми если появление одного из них исключает появление другого.

Пример:

в коробке находятся $9$ яблок, среди них $2$ жёлтых, $3$ красных и $4$ зелёных. Наугад берётся одно яблоко. Найди вероятность того, что оно не жёлтое.

$1$ способ. Обозначим: событие $A$ — вынуто красное яблоко, событие $B$ — вынуто зелёное яблоко, тогда событие $A+B$ — вынуто красное или зелёное яблоко, то есть не жёлтое. Найдём вероятность событий $A$ и $B$:

\begin{array}{l} P (A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}; \\ P (B) = \frac{4}{9} . \end{array}

События $A$ и $B$ несовместны, поэтому вероятность события $A+B$ равна:

$P (A + B) = P (A) + P (B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$ .

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P (A) + P (\bar{A}) = 1

Пример:

в коробке находятся $9$ яблок, среди них $2$ жёлтых, $3$ красных и $4$ зелёных. Наугад вынимается одно яблоко. Найди вероятность того, что оно не жёлтое.

$2$ способ. Обозначим событие

C

— вынуто жёлтое яблоко, тогда событие

\bar{C}

— вынуто не жёлтое яблоко. Вероятность события

C

равна

P (C) = \frac{2}{9}

, а вероятность противоположного события равна

P (\bar{C}) = 1 - P (C) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

Замечания

1) Теорема, аналогичная первой теореме, верна для любого конкретного числа событий, т. е.

P (A_{1} + A_{2} + ... + A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + ... + P (A_{n})

, где

A_{1}; A_{2} ... A_{n}

— попарно несовместные события.

2) Если $A_{1}; A_{2} ... A_{n}$ — все элементарные события некоторого испытания, то их совокупность называют полем событий. Очевидно, что эти события попарно несовместны, и $A_{1} + A_{2} + ... + A_{n} = U$ , где $U$ — достоверное событие.

$P (U) = P (A_{1} + A_{2} + ... + A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + ... + P (A_{n}) = 1$ .

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

6. Сложение вероятностей

Теория: