4. Позиционные системы счисления

Рассмотрим основные позиционные системы счисления.

 

 

В системах счисления, которые содержат больше \(10\) знаков, после цифры \(9\) начинаются латинские буквы. \(10\), \(11\), \(12\) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.

Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\).

 

Представим десятичное число \(652,17\) в развёрнутом виде.

 

Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с \(0\). Цифра \(2\) находится в разряде единиц, ставим над ней \(0\), далее разряд десятков — над цифрой \(5\) ставим \(1\) и т. д.

 

 

Запишем сумму произведений цифр числа на основание системы счисления с соответствующей степенью:

 

${\mathrm{652,17}}_{10}=6\times {10}^2+5\times {10}^1+2\times {10}^0+1\times {10}^{-1}+7\times {10}^{-2}$.

Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток (\(1\)), нет тока (\(0\)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.

 

Запишем двоичное число \(111001,101\) в развёрнутом виде.

 

${\mathrm{111001,101}}_2=1\times 2^5+1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$.

У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.

 

Рассмотрим развёрнутую запись восьмеричного числа \(452,214\).

 

${\mathrm{452,214}}_8=4\times 8^2+5\times 8^1+2\times 8^0+2\times 8^{-1}+1\times 8^{-2}+4\times 8^{-3}$.

 

Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.