3. Решение уравнений. Приближённые методы

Третий этап решения задачи характеризуется выбором или разработкой метода решения задачи, математическая модель которой составлена на предыдущем, втором, этапе. В некоторых случаях существует аналитическое решение, удовлетворяющее исследователя и приводящее к достоверным результатам. Однако для многих реальных задач аналитическое решение найти не удаётся, так как не всегда поведение объекта исследования выражается через известные математические функции. В таком случае прибегают к численным методам решения.

 

Под численными методами подразумеваются некоторые приближённые вычисления, позволяющие описать поведение реального объекта. Главной задачей применения численного метода решения является нахождение решения с требуемой точностью.

 

Точность или погрешность решения складывается из погрешности исходных данных и погрешности, которая может быть уменьшена в процессе вычислений. В теории численных методов эти погрешности называются неустранимой и устранимой соответственно. Устранимая погрешность связана не только с погрешностью вычислений, но и с самим численным методом. Суть численного метода решения в том, что найденное значение может уточняться в процессе решения и по достижении необходимой точности значение считается найденным. Вот почему подобный метод решения задач называется приближённым.

Помимо результата, полученного с помощью приближённого (численного) метода, также для исследователя важно оценить величину погрешности результата.

Так, цена деления измерительного прибора учитывается при определении абсолютной погрешности измерения. Если некоторое измерение записано как \(2,18 ± 0,01\), значит, измеренная величина находится в диапазоне [\(2,17\); \(2,19\)]. Хотя точное значение величины неизвестно, можно для относительной погрешности записать неравенство:

 

${\mathrm{\delta }}_a=\frac{{\mathrm{\Delta }}_a}{\left|a\right|}$,

 

где ${\mathrm{\delta }}_a$ — относительная погрешность, ${\mathrm{\Delta }}_a$ — абсолютная погрешность, $\left|a\right|$ — точное значение измеряемой величины.

 

Вычислим относительную погрешность в процентах для предложенных данных:

 

 

Таким образом, вычисляя относительную погрешность предыдущей задачи, получим:

 

 

Пример \(1\)

Укажи через пробел абсолютную и относительную погрешности представленного измерения.

\(x = 3,25 ± 0,02\).

Ответ: \(0,02\), \(0,60\).

 

Абсолютная погрешность указана в измерении, она имеет ту же размерность, что и измеренная величина. ${\mathrm{\Delta }}_a$ \(=\) \(0,02\). Если количество знаков после запятой больше, то их сокращают по правилам округления.
Относительную погрешность рассчитаем по формуле: ${\mathrm{\delta }}_a=\frac{{\mathrm{\Delta }}_a}{\left|a\right|}$.

 

В ответе соблюдаем одинаковую размерность для измерения и для величины погрешности.

Пример \(2\)

При проведении измерений длин получили следующие результаты: \(l1 = 32 ± 2\) см; \(l2 = 500 ± 0,1\) км. Какое из измерений точнее?

 

\(2\) см \(<\) \(0,1\) км, но в приведённом случае нужно сравнивать относительные погрешности, так как разумнее сравнить отклонение на равных единицах измерения.

 

 

 

То есть второе измерение точнее.

Если полученный результат будет участвовать в дополнительных вычислениях, то следует учитывать правила вычисления погрешностей арифметических операций.

 

Для оценки погрешностей косвенных измерений существует несколько методов, например метод подсчёта цифр. Это оценочный метод, но практическая надёжность его высока.

 

Округление результатов сложения или вычитания выполняется по правилам округления. При этом оценивают количество знаков после запятой в слагаемом с наименьшим количеством знаков после запятой, оставляя в сумме или разности столько же знаков. Таким образом, при сложении и вычитании оценивают абсолютную точность результата.

 

Пример \(3\)

 

Найди сумму чисел \(a\) и \(b\) и определи погрешность результата.

 

\(a = 5,123 ± 0,004\);

\(b = 9,4 ± 0,1\).

 

\(a + b = 5,123 + 9,4 = 14,523\);

\(∆a + ∆b = 0,004 + 0,1 = 0,104\).

Ответ: \(a + b = 14,5 ± 0,1\).

Представление результатов умножения или деления проводится следующим образом: сомножители представляются в виде $a\times {10}^n$, выполняют необходимую операцию, а результат округляют, оставляя в нём столько знаков после запятой, сколько в множителе с минимальным количеством знаков после запятой. Таким образом, при умножении и делении оценивают относительную точность результата.

 

Пример \(4\)

Найди произведение чисел \(a\) и \(b\) с учётом погрешности результата.

 

\(a = 51,23 = 5,123\) $\times {10}^1$;

\(b = 0,904 = 9,04\) $\times {10}^{-1}$;

\(a×b = 46,31192 = 4,631192\) $\times {10}^1$.

 

У сомножителя \(b\) меньше знаков после запятой, округлим результат до двух знаков после запятой.

 

\(a × b = 4,63\) $\times {10}^1$ \(= 46,3\).

 

Ответ: \(51,23 × 0,904 = 46,3\).

 

Если операций несколько, то для промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендовано. В окончательном варианте эта запасная цифра округляется.

 

Также необходимо придерживаться правила, в соответствии с которым сложение чисел следует проводить по мере их возрастания. Таким образом, в машинной арифметике из-за погрешностей округлений существенен порядок выполнения операций.

 

Численные методы — очень популярный инструмент для решения инженерных задач. Многие известные численные методы реализованы в пакетах прикладных программ, например в электронных таблицах, пакетах Mathcad и MatLAB. Но это не значит, что применение готовых реализаций численных методов исключает детальное понимание алгоритма их работы.

 

Охарактеризуем два класса численных методов.

Прямые методы позволяют получить решение за конечное число операций, сложность которых меньше, чем сложность основной задачи. В этом случае источником погрешности будут только неустранимая погрешность исходных данных и погрешность вычислений.

Итерационные методы строят последовательное приближение к решению. Критерий окончания вычислений связан с достижением необходимой точности. Погрешность в этом случае также учитывает и погрешность метода. Обычно выбирают погрешность метода так, чтобы она была не более чем на порядок меньше неустранимой погрешности.