Модуль вектора — урок. Геометрия, 9 класс.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной, или модулем, вектора.

Дан вектор

\vec{AB} = \{x; y\}

Из теоремы Пифагора следует, что в треугольнике \(ABC\) длина отрезка \(AB\), которая является модулем вектора

\vec{AB}

, равна

\sqrt{{AC}^{2} + {CB}^{2}}

, и, следовательно, модуль (длина) вектора

\vec{AB}

рассчитывается по формуле

|\vec{AB}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Пример:

вычисли длину вектора

\vec{AB} = \{5; 3\}

Решение:

|\vec{AB}| = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}

Расстояние между двумя точками

Как известно, координаты вектора можно определить, если даны координаты начальной и конечной точек вектора

A (x_{1}; y_{1})

B (x_{2}; y_{2})

\vec{AB} \{x_{2} {- x}_{1}; y_{2} {- y}_{1}\}

Обрати внимание!

Обязательно из координат конечной точки надо вычитать координаты начальной точки!

Если

x = x_{2} - x_{1}

y = y_{2} - y_{1}

|\vec{AB}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

, то вместо \(x\) и \(y\) можно поставить их выражения.

Новую формулу называют не только формулой длины вектора, но и формулой расстояния между двумя точками с заданными координатами

|AB| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Так как выражения в скобках в квадрате, то справедливо, что

|AB| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

То есть, не важна последовательность координат в разности.

При определении длины вектора в формуле последовательность координат не имеет значения:

|\vec{AB}| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

Источники:

1. Модуль вектора