1. Некоторые символы математического языка

$\mathrm{\mathbb{Q}}$ — множество рациональных чисел.

Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: $\frac{1}{3},\frac{51}{52},-\frac{8}{5}...$.

Очевидно, $\mathrm{\mathbb{N}}$ — составной компонент множества $\mathrm{\mathbb{Z}}$, а  $\mathrm{\mathbb{Z}}$ — составной компонент множества $\mathrm{\mathbb{Q}}$. Обозначается это так: $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}};\mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}$.

$\subset$ — знак включения.

Запись $x\in X$ показывает, что \(x\) — элемент множества \(X\).

Запись $A\subset B$ показывает, что множество \(A\) — часть множества \(B\). Говорят: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является  подмножеством множества \(B\), используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: $x\notin X,A\not\subset B$.

Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями.

Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):

$\begin{array}{l}\frac{7}{22}=\mathrm{0,3181818}...=\mathrm{0,3}(18);\\ 4=\mathrm{4,000}...=\mathrm{4,}(0);\\ \mathrm{7,3777}=\mathrm{7,37770000}...=\mathrm{7,3777}(0).\end{array}$

Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.

Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь $\mathrm{4,5}(28)$ в обыкновенную дробь.

Пусть \(x=\) $\mathrm{4,5}(28)$, т. е. \(x=\) $\mathrm{4,5282828}...$ и т. д.

Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число \(x\) умножим на \(10\). Получим $10x=\mathrm{45,282828}...$ и т. д.

Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число \(x\) умножим на \(1000\). Получим $1000x=\mathrm{4528,282828}...$ и т. д.

Вычтем из второго равенства первое равенство.

$\begin{array}{l}1000x=\mathrm{4528,282828}...\\ 10x=\mathrm{45,282828}...\end{array}$

  $\overline{990x=4483}$

Отсюда $x=\frac{4483}{990}=4\frac{523}{990}$.

Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.