Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство числовой дроби:

если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

Умножение числителя и знаменателя дроби на число называется приведение дроби к новому знаменателю, а деление — сокращением.

1	$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$	Числитель и знаменатель дроби умножили на $4$, т. е. дробь $\frac{2}{3}$ привели к знаменателю $12$ (знаменатель тоже умножить на $4$!)
2	$\frac{14}{21} = \frac{14^{2}}{21_{3}} = \frac{2}{3}$	Числитель и знаменатель дроби разделили на $7$, т. е. дробь $\frac{14}{21}$ сократили на $7$

С алгебраическими дробями можно выполнять те же действия, что и с числовыми дробями — сложение, вычитание, умножение, деление или возведение в степень.

При выполнении этих действий и упрощении результата приходится использовать

основное свойство алгебраической дроби:

значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля.

1.	$\frac{x - 1}{x + 5} = \frac{(x - 1) \cdot 2 x}{(x + 5) \cdot 2 x}$	Числитель и знаменатель умножен на $2x$; дробь $\frac{x - 1}{x + 5}$ приведена к знаменателю $2x·(x+5)$
2.	$\frac{4 (y + 5)}{y (y + 5)} = \frac{4 {(y + 5)}^{1}}{y {(y + 5)}_{1}} = \frac{4}{y}$	Числитель и знаменатель разделены на $y + 5$; дробь $\frac{4 (y + 5)}{y (y + 5)}$ сокращена

Обрати внимание!

При выполнении действий над алгебраическими дробями подразумевается, что все действия выполняются только в области определения этой дроби (т. е. соответствуют допустимым значениям переменной). Поэтому область определения дроби находится только тогда, когда этого требует условие задания.

Пример:

сократи

\frac{26 a^{3} bc}{169 a^{2} c}

1. У чисел $26$ и $169$ имеется общий множитель $13$, поэтому дробь можно сократить:

\frac{26 a^{3} bc}{169 a^{2} c} = \frac{2 \cdot 13 a^{3} bc}{13 \cdot 13 a^{2} c} = \frac{2 a^{3} bc}{13 a^{2} c}

2. Сокращаются степени с равными основаниями:

\frac{a^{3}}{a^{2}} = \frac{a^{2 + 1}}{a^{2}} = \frac{a^{2} \cdot a^{1}}{a^{2}} = \frac{a^{1}}{1} = a^{1}

2.1 Степени

a^{3}

a^{2}

сокращаются делением на меньшую степень

a^{2}

\frac{2 a^{3} bc}{13 a^{2} c} = \frac{2 a^{3} bc}{13 a^{2} c} = \frac{2 abc}{13 c}

2.2 Сокращаются равные множители $c$. Переменную $b$ нельзя сократить, т. к. в знаменателе дроби нет такой переменной:

\frac{2 abc}{13 c} = \frac{2 ab c}{13 c} = \frac{2 ab}{13}

Ответ: сократив дробь

\frac{26 a^{3} bc}{169 a^{2} c}

, получаем

\frac{2 ab}{13}, или \frac{2}{13} ab

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Основное свойство алгебраической дроби

Теория: