Определённые интегралы — урок. Алгебра, 11 класс.

Если функция

y = f (x)

непрерывна или кусочно-непрерывна на отрезке

[a; b]

, то существует определённый интеграл от функции

y = f (x)

по отрезку

[a; b]

\int_{a}^{b} f (x) dx

Число \(a\) — нижний предел интегрирования;

число \(b\) — верхний предел интегрирования;

[a; b]

— отрезок интегрирования.

Вычисляется определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

\int_{a}^{b} f (x) dx = F (x) |_{a}^{b} = F (b) - F (a)

F (x)

— первообразная функция.

Алгоритм вычисления определённого интеграла:

1) находим первообразную \(F(x)\), то есть неопределённый интеграл (константу \(C\) не добавляем);

2) подставляем \(b\) в первообразную, находим \(F(b)\);

3) подставляем \(a\) в первообразную, находим \(F(a)\);

4) находим разность \(F(b)-F(a)\).

Пример:

\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} |_{1}^{4} = 2 \sqrt{4} - 2 \sqrt{1} = 4 - 2 = 2 .

Геометрический смысл определённого интеграла

Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью \(Ox\), прямыми \(x=a\), \(x=b\) и графиком функции

y = f (x)

, непрерывной на отрезке

[a; b]

(функция

y = f (x)

не меняет знак на этом промежутке).

Рис. \(1\). Криволинейная трапеция

Пример:

найди площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

y = \frac{x^{2}}{2} + 4

, прямыми \(x=-3\), \(x=2\) и осью \(Ox\).

Решение:

Рис. \(2\). Построение криволинейной трапеции

S = \int_{- 3}^{2} (\frac{x^{2}}{2} + 4) dx = (\frac{x^{3}}{6} + 4 x) |_{- 3}^{2} = (\frac{2^{3}}{6} + 4 \cdot 2) - (\frac{{(- 3)}^{3}}{6} + 4 \cdot (- 3)) = \frac{4}{3} + 8 + \frac{27}{6} + 12 = 20 + \frac{35}{6} = 25 \frac{5}{6} .

Источники:

5. Определённые интегралы