1. Обратная функция

Теория:

Функция \(y=f(x)\), x∈X является обратимой, если любое своё значение она имеет только в одной точке множества \(X\) (когда разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).
Теорема \(1\)
Если функция \(y=f(x)\), x∈X монотонна на множестве \(X\), то она обратима.
Пусть функция \(y=f(x)\), x∈X является обратимой, и E(f)=Y. Каждому \(y\) из \(Y\) соответствует единственное значение \(x\), при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, определённую на \(Y\) и имеющую значения на множестве \(X\). Таким образом построенная функция будет являться обратной по отношению к функции \(y=f(x)\), x∈X, и её обозначают x=f−1(y),y∈Y.
Теорема \(2\)
Если функция \(y=f(x)\) возрастает на множестве \(X\), и область значений функции есть множество \(Y\), то обратная функция x=f−1(y),y∈Y возрастает на множестве \(Y\).
Или,
если функция \(y=f(x)\) убывает на множестве \(X\), и область значений функции есть множество \(Y\), то обратная функция x=f−1(y),y∈Y  убывает на множестве \(Y\).
 
Теорема \(3\)
Точки \(M(a; b)\) и \(P(b; a)\) симметричны относительно прямой \(y=x\).
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой \(y = f(x)\), следует выразить \(x\) через \(y\), а в полученной формуле \(x = g(y)\) заменить \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\).
Пример:
найти функцию, обратную для функции y=x2,x∈0;+∞).
Функция y=x2 возрастает на промежутке 0;+∞). Делаем вывод, что обратная функция существует. Если значения \(x\) принадлежат промежутку 0;+∞), то x=y. Заменим \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\), получим обратную функцию y=x,x∈0;+∞). Обратная функция определена на промежутке 0;+∞) и её график симметричен графику функции y=x2,x∈0;+∞) относительно прямой \(y=x\).
21.png
Источники:
Изображение: график функции, обратной данной, симметричен её графику. © ЯКласс.
Вернуться в тему
Следующее задание
Copyright © 2026 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных Деятельность в области информационных технологий